<삼단논법>(Syllogism)

• 아래 논증의 타당성을 보여주기 위한 두가지 방법
  • 소크라테스는 사람이다
    ----------------------
    소크라테스는 죽는다.
  • 숨은전제
    • 1) 소크라테스가 사람이라면 소크라테스는 죽는다.--> 명제논리
    • 2) 모든 사람은 죽는다. --> 삼단논법(술어논리)

삼단논법을 이루는 명제들 : 정언명제(categorical proposition)

• 삼단논법의 전제와 결론이 될 수 있는 명제들은 네가지 형식만 가능
• 4가지 정언명제
  • 정언명제는 집합들에 관한 주장
  • 한 집합의 전체나 부분이 다른 집합에 포함되거나 안된다는 것을 주장하는 명제들 : (AfIromo / nEgO)

• 정언명제의 네가지 유형들
  1. 전칭긍정: A: 모든 S는 P이다 - 집합 S가 집합 P에 포함
  2. 전칭부정: E: 어떤 S도 P가 아니다 - 집합 S가 집합 P에서 완전 배제
  3. 특칭긍정: I: 어떤 S는 P이다
     • 집합 S에는 집합 P에 속하는 원소가 '적어도 하나' 있다.
     • '어떤'(Some)이라는 의미는 '적어도 하나'라는 의미.
  4. 특칭부정: O: 어떤 S는 P가 아니다.
     • 집합 S에는 집합 P에 속하지 않는 원소가 적어도 하나 있다.
• 명제 유형의 성격
  • 이런 명제유형들은 완전한 명제가 아님.
  • 주어와 술어가 아직 정해지지 않았기 때문. 즉 형식이다.
  • 이 명제유형들은 주어가 가리키는 집합 내지 집단과 술어가 가리키는 집합 내지 집단 간의 관계에 관한 주장
  • 따라서 전자를 주어집합, 후자를 술어집합이라고 함
  • 그리고 '--이다'(be) '--이 아니다'를 繫辭(copula)라고 한다.
• 연습문제: Copi. p.214

정언명제의 量과 質, [周延(distribution), 不周延]

• 양(quantity): All, Some / 전칭, 특칭
• 질(quality): 이다, 아니다 / 긍정, 부정
• 주연(distribution): 어떤 명제가 그 명제를 이루고 있는 주어나 술어가 가리키는 집합의 원소 전체에 관련되는 주장을 하게 될때 이때 '그 명제는 주어나 술어룰 주연시키고 있다'라고 한다.

• A, E, I, O 명제의 주연/부주연
  • A명제: 주어-주연, 술어-부주연
  • E명제: 주어-주연, 술어-주연
  • I명제: 주어-부주연, 술어-부주연
  • O명제: 주어-부주연, 술어-주연
  • 결론 : 전칭명제는 주어가 주연, 부정명제는 술어가 주연
• 연습문제: 양, 질, 주연, 부주연 찾기 Copi, p. 219-220. (pp251-252)
  • 어떤 미생물들은 쉽사리 식별되는 것이 아니다.
  • 모든 과실치사 사건들은 비고의적 살인사건이다.
  • 별로 똑똑하지 못한 몇몇 사람들은 스스로를 뛰어난 인물로 자부하는 경향이 있다
  • 시련을 겪은 사람들은 누구도 역경에 처한 친구에게 등을 돌리지 않는다.

정언명제의 표준화

1. 단칭명제
   • 소크라테스는 사람이다
   • 하나의 원소를 포함하는 전체집합(단집합. unit class)
   • 주어가 주연, 술어가 부주연 된다는 점에서 A명제와 동일
   • 예) 초대 대통령은 학자 출신이다.
2. 끝이 좋은 것치고 좋지 않는 것은 없다 -- 모든 끝이 좋은 것은 좋은 것이다.
3. 용감한 자만이 미인을 차지할 수 있다.
   • 용감한 자 -> 모두가 미인 차지하는 것은 아님
   • 모든 미인을 차지한 자 -> 용감함
   • 미인을 차지할 수 있는 자는 모두 용감한 자이다.(주,술을 바꿈)
   • 모든 용감한 자는 미인을 차지할 수 있다.(X)
4. 모든 어린이가 산타클로스가 있다고 믿는 것은 아니다.
   • 산타클로스가 있다는 것을 믿지 않는 어린이가 적어도 하나는 있다.
   • 즉 '어떤 어린이는 산타클로스가 있다고 믿는 사람이 아니다'.
   • 모든 도깨비가 뿔이 있는 것은 아니다.
   • 반짝인다고 모두 금은 아니다.
   • 푸른 장미는 없다 -- 어떤 장미도 푸른색의 것이 아니다.
   • 흰코끼리는 있다 -- 어떤 코끼리는 흰 것이다.
5. 예외명제: 두개의 명제로 분석해야 한다.
   • 거짓말장이 말고는 모두 들어갈 수 있다.
     • 모든 거짓말장이는 들어갈 수 있는 사람이 아니다.
     • 모든 거짓말장이가 아닌 사람은 들어갈 수 있는 사람이다.
   • 거의 모든(약간을 제외한 모든, 대부분의) 학생들이 파티에 참석했다.
     • 이는 어떤 학생들은 파티에 참석했다고 주장하면서 동시에 모든 학생들이 참석했다는 것은 부정하고 있다.
       • 어떤 학생들은 파티에 참석한 사람이다.
       • 어떤 학생들은 파티에 참석한 사람이 아니다.

직접추리 1: 대당사각형

• 직접추리와 간접추리
  • 결론이 하나의 전제로부터 도출되면 직접추리
  • 2개 이상의 전제로부터 결론이 도출되면 간접추리
• 대당사각형(Square of Opposition):(p.224)
  • 네 정언명제들 사이에 성립하는 형식(논리)적 진리 관계에 대한 도표
  • 한 명제의 진리치를 알때 다른 명제들의 진리치가 어떻게 되는지 조사
• 전통적 대당사각형
  • 반대대당: 둘 다 참일 수 없는 관계 A-E
  • 소반대대당: 둘 다 거짓일 수는 없는 관계 I-O
  • 모순대당: 서로 반대의 진리값을 갖는 관계: A-O, E-I
• 대당사각형에 근거한 직접추리
  • A: 모든 사람은 동물이다/E: 어떤 사람도 동물이 아니다
  • I: 어떤 사람은 동물이다/O: 어떤 사람은 동물이 아니다.

• 연습문제 Copi p. 235 (1이 참/거짓일때 다른 명제의 참/거짓은?)
  • 1. 뿔달린 동물은 어느것도 육식동물이 아니다. E
  • 2. 어떤 뿔달린 동물은 육식동물이다. I
  • 3. 어떤 뿔달린 동물은 육식동물이 아니다. O
  • 4. 뿔달린 동물은 모두 육식동물이다. A

직접추리 2 : 환위, 환질

• 換位(conversion) - 주어와 술어를 바꾸는 것.
• 대칭적인 E, I에서만 가능(단순환위) (역, converse)
  • X 모든 사람은 천사다 -- 모든 천사는 사람이다
  • O 어떤 사람도 천사가 아니다. -- 어떤 천사도 사람이 아니다.
  • O 어떤 사람은 천사다. -- 어떤 천사는 사람이다.
  • X 어떤 사람은 천사가 아니다 -- 어떤 천사는 사람이 아니다.
• 제한환위(conversion by limitation)
  • A 명제에서 주어,술어를 바꾸면서 동시에 양도 전칭에서 특칭으로 바꿈
  • 예) 모든 개는 동물이다. -- 어떤 동물은 개이다.
  • (이는 존재 함축이 허용될 때만 가능)

• 換質(obversion)
  • 집합
    • 어떤 성질을 공유하는 대상들의 모임.
    • 모든 집합에는 여집합(complementary class)이 존재.
    • 어떤 집합과 그것의 여집합과의 관계는 어떤 개념과 그것의 모순개념과의 관계와 같다.
    • 남자의 여집합에는 남자가 아닌 모든 것이 성립. 여자, 신발, 구두약, 양배추......
    • 어떤 개념(집합)의 모순개념(여집합)의 모순개념(여집합)은 자기 자신. 이중 부정의 법칙.
  • 환질이란 어떤 명제의 질을 바꾸면서 그 명제의 술어를 그것의 모순개념으로 바꾸는 것. 4가지 명제 모두 가능.
    • A: 모든 S는 P이다.--> 어떤 S도 비P가 아니다.
    • E: 어떤 S도 P가 아니다.--> 모든 S는 비P이다.
    • I: 어떤 S는 P이다. --> 어떤 S는 비P가 아니다.
    • O: 어떤 S는 P가 아니다. --> 어떤 S는 비P이다.
• 연습문제: Copi p.233-237

존재함축(existential import)의 문제와 부울의 해석 Copi pp.237-241

• 아리스토텔레스의 해석
  • 존재에 대한 문제가 이미 긍정적으로 해결되었다는 가정하게서만 타당
  • 그 개념이 가리키는 집합들이 모두 원소를 가지고 있다고 가정.
• 부울(George Boole) 해석
  • 존재의 문제를 논리학에 도입하지 않음
  • 특칭(Some)(I, O명제)의 경우
    • '적어도 하나'라는 개념 속에 '존재한다'는 개념도 포함되어 있다
    • "어떤 A는 B이다"라고 할때는 주어와 술어의 집합 모두에 적어도 하나의 원소가 존재한다는 점도 주장하고 있다.
  • 전칭명제(A, E명제)의 경우에 존재가 문제시 됨
    • 일상적으로는 그 대상의 존재가 자명하게 존재하는 것으로 인정
    • 존재를 가정하지 않는 경우 - 과학적 법칙을 주장하는 경우
      • 뉴튼 제 1 법칙 : "외부에서 아무런 힘도 받지 않은 물체는 모두 정지상태나 직선운동 상태를 그대로 유지한다."
      • 만약 존재가 주장된다고 한다면 이 법칙은 거짓
      • 왜냐하면 '외부에서 아무런 힘도 받지 않는 물체'는 이 우주에 존재하지 않기 때문
      • "귀신은 존재하지 않는다"라는 주장도 만약 진짜 귀신이 존재하지 않는다면 이 주장은 모순에 빠지게 된다.
      • "도깨비는 방망이를 들고 다닌다"고 말할 때 도깨비가 있다고 간주하는가? No.
• 이런 해석 하에서는 아리스토텔레스 해석에서 성립했던 대반대, 소반대대당, 대소대당이 성립 않는다. 오직 모순대당만이 타당한 것으로 남게 된다.
  • 존재함축이 없을 때의 대당사각형에서의 참,거짓 관계 (괄호속에 있는 것이 바뀐 것)
  • 결국 모순 대당만 성립

<벤(Venn) 다이어그램>

• 정언명제는 주어집합과 술어집합 사이의 관계를 이야기하는 것
• 이들 집합관계를 우리는 '벤 다이어그램'으로 표시
• 여기서는 Boole처럼 전칭명제에서는 존재함축이 없는 것으로 해석

벤다이어그램

• 집합을 원으로 표시함으로써 집합의 관계를 드러냄
  • 공집합일 경우에는 원 속에 빗금을 친다. (그림)
  • 집합의 원소가 적어도 하나 있을 경우에는 원 안에 x표를 한다. (그림)
  • 빗금도 x표도 없는 원은 원소를 가질 수도, 가지지 않을 수도 있다.
  • 

정언명제의 벤다이어그램

• 정언명제는 두개의 집합에 관한 진술
• 그러므로 먼저 중첩되는 두개의 원을 그린다.
• 두 원에 의해서 구분되는 네 영역은 다음과 같이 표시될 수 있다.(그림)
  

대당사각형의 벤다이어그램

• A : 모든 S는 P다.
  • P가 아닌 S는 없다
• E : 어떤 S도 P가 아니다.
  • S이면서 P인 것은 아무것도 없다
• I : 어떤 S는 P이다.
  • S이면서 P인 어떤 것이 있다
• O : 어떤 S는 P가 아니다.
  • S이지만 P는 아닌 어떤 것이 있다
• 
  
  
  
• 연습문제 Copi. p251
  • 쓸모없는 쾌락을 거부하는 결벽주의자들은 모두 삶을 살만한 것으로 만드는 많은 것들을 알지 못한다.
  • 모든 도색영화는 문명과 교양에 대한 위협이다.
  • 어떤 연애인들이 포르노 비디오로 곤혹을 치르고 있다.
  • K씨 성을 가진 정치인 중 어떤 사람은 뇌물사건과 관계가 없다.

<삼단논법>

• 삼단논법은 간접추리
  • 하나의 명제로부터 곧바로 결론을 도출해내는 것이 아니라
  • 두개의 정언명제로부터 하나의 정언적 주장을 도출
• 두개의 명제로부터 타당하게 결론을 도출하는 방법이 있다면 거기서부터 직접추리와 삼단논법을 연쇄적으로 적용함으로써, 전제가 아무리 많다고 하더라도 타당성을 평가할 수 있는 방법이 열리게 됨

정언삼단논법의 가짓수

• 정통적 삼단논법은 정언적 삼단논증(Categorical Syllogism)
• 정언삼단논법은 원리상 총 256가지가 가능
  • 64개의 식(mood)
    • 삼단논법은 두개의 전제와 하나의 결론으로 이루어짐
    • 각 명제마다 A,E,I,O 4가지의 표준형식이 있으므로 4x4x4=64.
    • 즉 AAA, AAE, AAI, AAO,.....
    • 이것들 각각을 '식'(mood)이라고 함
  • 4가지 격(figure)
    • 정언명제가 두전제와 하나의 결론으로 결합되어 있다고 해서 모두 삼단논증이 되는 것은 아니다.
    • 삼단논증이 되려면 세 명제에 서로 다른 세 개념이 각각 두번씩 들어가 있어야 한다.
    • 삼단논증의 두 전제는 (주어든 술어든) 하나의 개념을 공유해야 하고, 전제에서 공유되지 않은 개념은 결론에서 연계되어 있어야 한다.
    • 따라서 각각의 삼단논법은 다음의 4가지 '격'(figure)을 가지게 된다.

      대전제	M-P	P-M	M-P	P-M
      소전제	S-M	S-M	M-S	M-S
      결 론	S-P	S-P	S-P	S-P
      	1격	2격	3격	4격

• 대전제, 소전제, 결론
  • 대전제: 결론의 술어, 즉 대개념(major term)이 들어 있는 전제
  • 소전제: 결론의 주어, 즉 소개념(minor term)이 들어 있는 전제

<삼단논법의 타당성 검사 방법>

• 그러나 256개의 모든 형태의 격과 식이 다 타당한 연역형태는 아니다.
• 그중에서 타당한 것은 불과 몇가지, 즉 15가지 밖에 안된다.

타당성 검사의 성격

• 삼단논법의 타당/부당성도 명제논리에서와 마찬가지로 그 형식에 의해서 결정
• 그것이 다루는 구체적인 내용이나 주제와는 아무런 상관이 없다.
• 구체적인 것들을 예로 들 때에서도 그 때 문제 삼는 것은 그 논증의 형식적 구조이지 내용은 아님
• 예를들어 AAA식 1격 삼단논증을 보자.
  • 모든 M은 P이다.
  • 모든 S는 M이다.
  • --------------------
  • 모든 S는 P이다.
• 여기서 S, P, M에 어떤 개념을 넣더라도 전제가 참이면 결론도 참

벤다이어그램을 이용한 삼단논법의 타당성 검사

• 세개의 원을 서로 겹친다.
• 두 전제를 원 안에 표시한다
  • 전제가 전칭, 특징으로 되어 있으면 전칭부터 먼저 표시한다
  • 특칭전제가 어떤 편에 'x'표를 해야 할지 말해주지 않을 때에는 중간을 가르는 선 위에 'x'표를 한다
• 전제의 표시에 결론의 표시가 이미 들어가 있는지 확인한다
• 들어있으면 타당, 들어있지 않으면 부당
• 
• AAA-1 형식의 삼단논법 : 모든 M은 P이다. 모든 S는 M이다./ 모든 S는 P이다.
• AAA-2 형식 : 모든 개는 포유동물이다. 모든 고양이는 포유동물이다./모든 고양이는 개이다
• AII-3 : 모든 예술가는 이기적이다. 어떤 예술가는 가난하다./ 어떤 가난한 사람은 이기적이다.(특징과 전칭의 전제가 있을 경우에는 전칭 먼저 표시)
• AII-2 : 모든 위대한 학자는 대졸자이다. 어떤 프로 축구 선수는 대졸자이다./ 어떤 프로 축구선수는 위대한 학자이다.
  
  
• 연습문제 : Copi pp.273-274
  • 1. AOO-1(부당), EAE-1(타당) 2. EIO-2(타당), OAO-2(부당)
  • 3. OAO-3(타당), EAE-3(부당) 4. AOO-4(부당), EIO-4(타당)

< 생략 삼단논법(enthymeme) >

• 우리가 보통 논증을 펼때에는 (의식적이든 무의식적이든) 자명한 것으로 간주되는 것들은 보통 생략해버리는 경우가 많이 있다. 가령 A,B,C,D라는 전제로부터 E라는 결론이 논리적으로 도출된다고 할때 보통은 A,B,C,D 중에서 중요하다고 생각되는 부분 한두가지만 전제로서 주장할 뿐, 다른 것들은 자기도 모르게 이미 말하는 사람이나 듣는 사람이나 다 알고 있는 것으로 간주해버린다. 가령 인과관계에서 성수대교의 붕괴 원인을 다리 이음쇄의 불량이라고 할때에도 마찬가지이다. 다리 이음쇄의 불량은 붕괴의 한 원인일 뿐이다. 이음쇄 붕괴 이외에도 다리 위에 몇 대 이상의 차가 있었고, 태양계와 중력의 법칙이 작용하고 있었으며, 다리 밑에 떠 받쳐주는 것이 없었으며 등등 무수히 많은 원인들의 결합으로 다리의 붕괴가 일어난 것이다. 그렇지만 우리는 다른 모든 것들은 다리의 붕괴와 관련하여 이미 누구나 알고 있는 사실이라고 간주하여 생략해 버린다.
• 바로 이 누구나 알고 있다고 생각되는 것에 기반한 논증에 의문을 제기하고 그리하여 새로운 전제로부터 논증을 구성해 낼 때 새로운 철학이 생겨나는 것이다.
  
  
• 생략삼단논법의 종류
  • 대전제가 생략될 경우 일차 생략 삼단논법
  • 소전제가 생략될 경우 이차 생략 삼단논법
  • 결론이 생략될 경우 삼차 생략 삼단논법
    
    
• 일차 생략 삼단논법
  • 최근에 비가 내렸음에 틀림없다. 물고기가 입질을 하지 않으니까.
  • => (물고기가 입질을 하지 않는 모든 때는 비가 내린지 얼마 안된 때이다.) 지금은 물고기가 입질을 하지 않는 때이다./지금은 비가 내린지 얼마 안된 때이다.
• 이차 생략 삼단논법:
  • 모든 의사는 대졸자이다. 그러므로 의약협회의 모든 회원들은 대졸자임이 틀림없다.
  • => 모든 의사는 대졸자이다. (의약협회의 모든 회원들은 의사들이다.)/ 의약협회의 모든 회원들은 대졸자이다.
• 삼차 생략 삼단논법:
  • 헨리는 돈버는 일에만 관심이 있다. 그러나 하나님과 재물을 동시에 섬길 수는 없다.
  • 헨리는 돈버는 일에만 관심이 있는 자이다. 돈버는 일에 관심이 있는 자는 어느 누구도 하나님을 섬기는 자가 아니다./ (헨리는 하나님을 섬기는 자가 아니다).
• (연습문제) 313-4; 18. 20. 24.